n.27 - carrucola mobile con massa

La massa M si muove su una superficie orizzontale priva d'attrito. Una fune inestensibile è attaccata alla massa M. La fune passa nella gola di due carrucole, una priva di massa. Quella mobile è assimilabile a un disco di massa M' e raggio R. L'altra estremità della fune è attaccata a un perno nel soffitto. Trovate l'accelerazione delle due masse.

La carrucola mobile ha una massa M': le due tensioni sono diverse. Attenzione: supponiamo che la fune non slitti sulla carrucola e quindi vale la condizione di rotolamento (alpha=a_m/R). L'accelerazione del centro della carrucola  è infatti uguale a quello della massa a lei appesa.

La carrucola gira in senso antiorario

 m a_m = mg - T''

I alpha = T'R - TR (rispetto il centro carrucola, centro di massa quindi)

M' a_m = M'g - T'' - T - T'

 M a_M = T

 Che relazione c'è tra a_M e a_m?  a_M = 2 a_m

 m a_m = mg - T''

I a_m /R^2 = T' - T

M' a_m =M'g - T'' - T - T'

4 M a_m = 2T

Sommo le equazioni:

a_m (m+I/R^2+M'+4M)=(m+M')g

a_m =(m+M')g/(m+4M+M'+I/R^2)

confrontate con l'esercizio 

http://physics-sparavigna.blogspot.it/2013/06/carrucola-mobile.html

se M'=I=0, i risultati coincidono.