n.4 - disco e pallina

Un disco di massa m e raggio R ruota con velocità angolare w in un piano orizzontale attorno ad un asse verticale A fisso passante per il centro del disco. Da una certa altezza h viene lasciato cadere sul disco una pallina di plastilina di massa m_2. La pallina urta il disco a una distanza d<R dal centro del disco e vi rimane attaccata. Trovate la velocità angolare del sistema subito dopo l'urto.

Che momento angolare ha il sistema (disco+pallina) prima dell'urto? Calcoliamolo rispetto il centro del disco. Esso è un vettore fatto da una componente parallela all'asse A verticale, L_v,  che è dovuto alla rotazione del disco, e da un vettore perpendicolare all'asse A di rotazione, L_p,  che viene dal moto di caduta della pallina:

L_v= I_o w (verticale)

L_p= d m_2 v 

 con I_o=1/2 m R^2 , inoltre la pallina viene lasciata cadere v=gt=g sqrt(2h/g)=sqrt(2gh).

Quali sono le forze esterne? La gravità sulla pallina, la gravità sul c.m. del disco e l'azione dei sostegni del disco. Quali sono i momenti? Se prendo come polo il centro del disco, c'è  il momento del peso della pallina, d m g, che è un vettore perpendicolare all'asse A. Il peso del disco non ha momento. L'azione dei sostegni interviene per mantenere il disco orizzontale durante l'urto: il relativo momento deve essere quindi perpendicolare all'asse A di rotazione del disco. Notiamo quindi che non ci sono momenti di forze che sono  paralleli all'asse A attorno cui ruota il disco. Così il momento angolare L_v resta costante. Dopo l'urto però cambia I, il momento d'inerza.

I_o w = I w' 

I = I_o + m_2 d^2

Per quanto riguarda la componente L_p questa sparisce dopo l'urto. Infatti c'è il momento del sostegno che la cambia.

Se volessimo valutare l'impulso che subisce il disco, esso è pari alla variazione della quantità di moto della particella, cambiata di segno. Impulso = m sqrt(2gh)